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Línbare unafhangheit (Lineare Unabhängigkeit)

Definition

Es seien k beliebige Vektoren des . Eine der Form mit , heißt Linearkombination der Vektoren .

Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls heißen sie linear unabhängig.

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn oder .

und sind linear unabhängig, genau dann, wenn sie nicht parallel sind.

In sind drei Vektoren linear abhängig, wenn oder oder . Die drei Vektoren heißen dann komplanar. Sie liegen in einer Ebene.

3 Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in einer Ebene liegen. Das ist gleichbedeutend mit (Spatprodukt).

Bemerkung: Vektoren sind im stets linear abhängig.

Satz

Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung nur durch erfüllt werden kann.

Sie sind linear abhängig, wenn mindestens ein ungleich Null gewählt werden kann.

Beweis:

Das System sei linear abhängig. Für ein i gilt:

für gewisse , wobei ein

lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

Jedoch sind Vektoren linear unabhängig, wenn sie auseinanderlaufen und es für sie keine geeigneten Koeffizienten gibt, um sie zusammenzuführen.

Beispiel für eine Fläche, die durch zwei Vektoren aufgespannt wird. Die Vektoren sind linear unabhängig, weil sie in verschiedene Dimensionen zeigen und auseinanderlaufen.

Beispiel für eine räumliche Darstellung der linearen Unabhängigkeit. Die Vektoren zeigen in verschiedene Dimensionen und laufen auseinander.

Zahlenbeispiel

Fläche:

Prüfe, ob die folgenden Vektoren der Fläche linear abhängig sind.

Die Multiplikation des Vektors mit der Zahl führt nicht zu den gleichen Komponenten wie beim Vektor .

Die Vektoren sind nicht linear abhängig.

Zahlenbeispiel

Körper:

Prüfe, ob die folgenden Vektoren des Körpers linear abhängig sind.

Die dritte Komponente „tanzt aus der Reihe“. Sie bildet kein Vielfaches von .

Komponenten:

Die Vektoren sind nicht linear abhängig.

Aufgabe

Prüfe auf lineare Abhängigkeit nach dem Additionsverfahren.

Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn ihre Linearkombination den Nullvektor ergibt und die Koeffizienten ungleich null sind.

, mit

Die Produkte aus den Koeffizienten mit ihren Vektoren werden addiert. Das betrifft nur zwei Terme wegen dem Index im Intervall von bis .

Setze die angegebenen -Vektoren in die Formel ein und benenne die -Koeffizienten in und um.

Komponenten:

Schreibe die Komponenten in ein lineares Gleichungssystem und rechne nach dem Additionsvserfahren aus.

Multipliziere die beiden Gleichungen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der -Komponente. In diesem Beispiel brauchst du dazu nur die beiden Koeffizienten des -Terms.

I) |

II) |

Nun folgt das Ergebnis. Nach der Subtraktion verschwinden sogar beide Terme.

I a)

II a) | I a + II a => III

III)

Die Gleichung ist immer erfüllt. Die Vektoren verlaufen parallel und sind damit linear abhängig. Die Art der Abhängigkeit lässt sich aus der ersten Gleichung errechnen:

En unlósbare glíke samfóg is dárup en hendüd, dat dí streksels sin línbar unafhangig.

Uplós de -glíking und -glíking na .

Wi heben fint ünershédige lósinges för . Dat is en tégensnak. Alsó dí bege streksels sin línbar unafhangig.