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Vektorkette

Drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine geschlossene Vektorkette bilden lässt. Das bedeutet, ihre Linearkombination ergibt den Nullvektor und die Koeffizienten sind ungleich null.

Formel zur Überprüfung der linearen (Un-)Abhängigkeit:

, mit

Das Symbol bedeutet, dass der Index im Intervall von bis läuft.

Erinnere dich an die Summenkonvention mit den geklammerten Indizes. Das Produkt aus dem Koeffizienten und dem Vektor wird addiert und zwar von Index bis . Wir befinden uns im dreidimensionalen Raum.

Beispiel

Aufgabe

Prüfe auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit .

Rechenweg über das Additionsverfahren

Bei diesem Verfahren werden die einzelnen Variablen Schritt für Schritt eliminiert, was durchaus langwierig und unübersichtlich sein kann. Dazu nutzt man das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Sie müssen also eine Zahl gemeinsam haben, die möglichst klein ist. Das erleichtert das Ausrechnen.

Es bietet sich an, zuerst die-Variable zu eliminieren, weil sie überall gleich ist. Hier braucht man nur die unteren Gleichungen von der ersten Gleichung subtrahieren. Dadurch verschwindet die -Variable.

I) 3

II)

I – II => II a

III)

I – III => III a

Jetzt soll die -Variable verschwinden. Du machst beide -Variablen durch Multiplikation gleich groß.

II a) | => II b

III a) | => III b

Das führt zu diesem Ergebnis:

II b)

III b) | II b – III b => IV

Nach der Subtraktion bleibt die -Variable übrig.

IV)

einsetzen in II a => V

Durch Einsetzen des in eine geeignete Gleichung ergibt sich die -Variable.

V)

IV und V einsetzen in I => VI

Dann kannst du die letzte übrig gebliebene Variable auch durch Einsetzen errechnen.

VI)

Das bedeutet, das Gleichungssystem wird nur gelöst, wenn alle Koeffizienten null sind. Damit liegt eine lineare Unabhängigkeit vor.