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Linearkombination

Du weißt ja bereits, dass durch eine geschickte Verschiebung von Vektoren bestimmte Punkte im Raum erreicht werden können. Diese Verschiebung geht einher mit der Vektoraddition.

Der Vektor ergibt sich aus der Summe der beiden Vektoren, z.B. und . Was dabei geschieht, kannst du schön über die Veränderung der Komponenten ersehen. Sie zeigen an, wie viele Einheiten du nach rechts (links) und wie viele Einheiten du nach oben (unten) gehen musst, um an die Spitze des Vektors zu gelangen.

Jetzt multipliziere ich die Vektoren noch mit den Koeffizienten (Skalaren) und , damit du einen Eindruck gewinnst, wie eine vollständige Verschiebung von zwei Vektoren im Raum formal aussieht.

Die Koeffizienten und sind verschieden, was durch den Index unten rechts angedeutet wird. Sie längen oder verkürzen einen Vektor.

Beispiel mit Zahlen

Was auf zwei Vektoren zutrifft, kannst du auch auf beliebig viele Vektoren mit beliebig vielen Dimensionen ausweiten.

Dieses Verfahren heißt Linearkombination, die eine Summierung von Vektoren mit bestimmten Koeffizienten darstellt. Dadurch werden Vektoren im Raum verschoben.

Die Vektorsummierung kann ich mit dem Summensymbol dem ein Koeffizient und ein Vektor folgen, schreiben. Sie haben bestimmte Indizes.

Der Index ist eine beliebige natürliche Zahl. Er wird beim Koeffizienten und Vektor rechts unten hingeschrieben. Er wird systematisch von bis zur vorgegebenen Obergrenze hochgezählt. Der Kleinbuchstabe bezeichnet den letzten Term.

Die einzelnen Terme (= Produkte) werden addiert und zu einer Summe zusammengefasst, siehe das Summensymbol.

In der Kurzschreibweise entfällt das Summensymbol Stattdessen verweist die eckige Klammerung der Indizes auf die Summierung.

Die Komponenten in den Vektoren entsprechen in der Komponentenschreibweise den Dimensionen. Die erste Komponente ist also die -Achse, die zweite Komponente ist die -Achse und die dritte Komponente ist die -Achse im Koordinatensystem. Die übrigen Terme sind mehrdimensional.

Der Index unten rechts entspricht der Nummer des Terms.

ist also der erste Term.

Die drei Punkte innerhalb der großen Klammer verweisen darauf, dass die Komponenten beliebige Zahlen sein können. In diesem Fall liegen dreidimensionale Vektoren vor.

Mit irgendwelchen Zahlen gefüllt sieht die Linearkombination so aus: