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Lokale Basisvektoren und Orthogonalität

In geradlinigen (kartesischen) Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum.

Gesamtbasis = -Achse

Gesamtbasis = -Achse

In krummlinigen Koordinatensystemen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden.

Lokal radiusbasierend

Lokal winkelbasierend

Die lokalen Basisvektoren  und  an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien, welche aus den Einheitsvektoren des Radius und des Winkels gebildet werden.

Jeder Punkt im kartesischen Koordinatensystem kann über den Satz des Pythagoras ermittelt werden.

Die -Komponente wird gebildet aus dem Produkt der Ankathete mit der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Die y-Komponente wird gebildet aus dem Produkt der Gegenkathete mit der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Ortsvektor ist abhängig von der Länge des Radius und der Größe des Winkels .

Die Tangentenvektoren ergeben sich aus der Kurvengleichung des Ortsvektors durch Ableitung nach dem Kurvenparameter und . Man differenziert also nach und , was die jeweiligen Einheitsvektoren ergibt.

Einheitsvektors des Radius:

Einheitsvektor des Azimutwinkels:

Ableiten bedeutet, man ermittelt die Steigung einer Funktion, also die Tangente an einer Kurve in einem Punkt. Beim Tangentenvektor handelt es sich um zwei Tangenten, námlich die vom Radius und die vom Azimutwinkel.

Die Basisvektoren haben die Längen:

a) Länge der radialen Basisvektors.

Skalarmultiplikation

Trigonometrischer Pythagoras

b) Länge des winkligen Basisvektors.

Skalarmultiplikation

Trigonometrischer Pythagoras

Die beiden Basisvektoren sind zueinander orthogonal, denn die Skalarmultiplikation ergibt null.

Ausrechnen.

Die entsprechenden Koordinatenlinien schneiden sich also rechtwinklig, die Polarkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.