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Mächtigkeit von Mengen

Gleiche Objekte, und wenn sie millionenfach vorhanden sind, gelten nur als ein einziges Objekt. Ein solches Objekt wird dann Element genannt.

Beispiel

{a, b, c} = {b, c, a} = {b, a, c} usw.

Doppelt vorkommende Elemente werden ignoriert. Sie unterscheiden sich ja nicht, und können daher bis auf ein Element reduziert werden. Dubletten sind also unerwünscht in der Mengentheorie!

Beispiel

{a, a, a, b, b, c, c, c, c} = {a, b, c}

Die Anzahl der Elemente in einer Menge wird meistens durch die Betragsstriche | ..|. ausgedrückt. Ein anderer Begriff für die Anzahl der Elemente ist die „Mächtigkeit“, ein eher komisch wirkendes Wort.

Beispiel

M = {a, b, c}

|M| = 3

Die Menge M hat 3 Elemente. Die Betragsstriche drücken die Anzahl der Elemente aus.

Kardinalzahlen

Jetzt zeige ich, wie aus den Mengen Zahlen werden und wie man damit rechnet. Stellt euch vor, ihr habt zwei Mengen. Nennt sie einfach Menge A und Menge B. In beiden Mengen befinden sich verschiedene Elemente. Das sind chinesische Zeichen. Es ist ja im Grunde egal, was sich in den Mengen befindet.

Ihr könnt selber nachzählen. Die Menge A hat 3 Elemente. Die Menge B hat 6 Elemente. Jetzt sollen die beiden Mengen vereinigt werden. Das sieht dann so aus:

Das Zeichen  ist die Abkürzung für „vereinigt mit“. Es sieht wie eine Schüssel aus, in die man Suppe hineinschütten kann. Hier ist das aber keine Suppe, sondern hier sind es Elemente. Ihr habt bestimmt schon nachgezählt. Die vereinigte Menge hat 9 Elemente bekommen. Die nennen wir Menge C.

Die Anzahl der Elemente schreibt man in Betragsstriche |…|. Die Menge A hat 3 Elemente |A| = 3. Die Menge B hat 6 Elemente |B| = 6. Zusammen macht das Elemente.

Warum ich das dargestellt habe? Ihr sollt ein Gespür dafür erhalten, dass die Arithmetik direkt auf Mengenoperationen aufbaut.

Addieren mit Kardinalzahlen

Mengenoperationen sind keine Spielereien. Sie sind eng verbunden mit der normalen Arithmetik („Zahlenrechnen“).

Die Summe zweier Zahlen m und n ist die Kardinalzahl der Vereinigung zweier Mengen A und B, die disjunkt („getrennt“) sind. Klingt ein wenig freaky, ist aber ganz einfach.

Ihr vereint zwei Mengen A und B und ermittelt die Gesamtanzahl der Elemente. Die Gesamtzahl setzt sich aus der Kardinalzahl m = |A| der Menge A und der Kardinalzahl n = |B| der Menge B zusammen.

Die Betragsstriche |…| geben die Anzahl der Elemente einer Menge wieder. Das ist eine Zahl mit dem Namen Kardinalzahl („Grundzahl“).

Die Kardinalzahl der Menge A ist: |A|. Das ist der Zahl m. Die Kardinalzahl der Menge B ist: |B|. Das ist gleich der Zahl n. Die Kardinalzahl der Vereinigungsmenge (Summe) ist: . m + n ergibt die Kardinalzahl der Vereinigungsmenge. Die Summe setzt sich aus den Summanden m und n zusammen.

Das Ganze funktioniert aber nur, wenn die beiden Mengen A und B keine Elemente gemeinsam haben, also disjunkt „(getrennt“) sind, sonst gibt es unangenehme Doppelzählungen.

Zwei disjunkte Mengen (Quelle: Markus Gancher)

Die Schnittmenge der Mengen A und B ist leer, also disjunkt.

Multiplizieren mit Kardinalzahlen

„Das Produkt ist die Kardinalzahl der Vereinigung von m paarweise disjunkten Mengen, die alle die gleiche Kardinalzahl haben.“ [Kir97, S. 20]

Es gibt also eine Vereinigungsmenge, deren Untermengen alle disjunkt („getrennt“) sind. Die Kardinalzahlen der Untermengen sind alle gleich groß. Wichtig in diesem Zusammenhang ist, dass die Summanden alle gleich groß sind.

Eine Besonderheit beim Produkt ist, dass man eben nicht die Summanden addiert, sondern das kleine oder große Einmaleins auswendig kennt und bei der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen das Produkt aus dem Gedächtnis reproduziert – oder den Taschenrechner zückt.

Formal:

Das Produkt besteht aus den Faktoren m und n. Der Faktor m taucht bei den Mengen B als Index auf. Der Index m stellt die Nummer der jeweiligen Menge B dar. Die Nummer wird von 1 bis m hoch gezählt. Das sind insgesamt m Mengen.

Der Faktor n beim Produkt entspricht der Kardinalzahl (Anzahl der Elemente) von B.

Bei der Multiplikation addiert man die jeweiligen Summanden n, die alle gleich groß sind. Man braucht statt der jeweiligen Kardinalzahl |B| nur die Zahl n einsetzen. Das ergibt dann das Produkt m mal n.

Das obere Prozedere funktioniert aber nur, wenn jede Menge B disjunkt („getrennt“) ist.

Differenz von Kardinalzahlen

Die „normale“ Differenz von Zahlen geht auf eine Mengenoperation zurück, die der Differenzmenge.

Der Subtrahend m wird vom Minuend n abgezogen, was bedeutet, dass die Kardinalzahl der Menge B um die Kardinalzahl der Menge A verringert wird. Die gleiche Differenz ergibt sich auch, wenn die Kardinalzahl der Differenzmenge ermittelt wird.

„Hiernach ist n-m die Anzahl der Elemente, die übrig bleiben, wenn man von n Elementen m wegnimmt. Dies ist die ursprüngliche Auffassung des Subtrahierens als ‚Wegnehmen‚. Sie ist bei natürlichen Zahlen gleichwertig mit der Auffassung ‚Ergänzen‚, die wir in den Vorbemerkungen zugrundegelegt haben.“ [Kir97, S. 19]