• Startseite
• Inhalt
• Index

Unendlichkeitsaxiom (Inf)

Unendlichkeitsaxiom (Definition)

Es gibt unendliche Mengen.

Es existiert eine Menge A, die die leere Menge als Element enthält und die mit jedem ihrer Elemente z auch die Menge {z} als Element enthält.

Dem Axiom ist zunächst zu entnehmen, dass es mindestens eine Menge A gibt. Außerdem enthält sie die Leermenge als Element. Dann lesen wir, dass die Menge A auch noch andere Elemente mit dem Namen z enthält . Wenn es Elemente z in der Menge A gibt, dann werden sie vereinigt mit einer Menge, die auch die z-Elemente beinhaltet .

Das Unendlichkeitsaxiom postuliert nicht nur die Existenz einer unendlichen Menge, sondern gibt auch noch die Struktur dieser unendlichen Menge vor. Das ist die Sache mit der Vereinigungsmenge.

Der Meister Zermelo beschrieb dieses Axiom 1908 so:

"Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, daß jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element {a} entspricht, oder welche mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Elemente enthält." (Dei02, Seite 278)

Achtet darauf, was links vor dem Gleichheitszeichen steht. Hier wird das Element a mit der Menge von sich selbst vereinigt. Das ergibt die Menge, die rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Bei der nächsten Vereinigung wird das Gleichheitszeichen durch den Vereinigungsoperator ersetzt.

Diese Vereinigungsmenge kann man zu einer neuen Menge zusammenfassen, indem man geschweifte Klammern darum setzt und den Vereinigungsoperator durch ein Komma ersetzt.

Die neuen Mengen werden durch eine sukzessive Klammerung der vorherigen Mengen und der Vereinigung mit den vorherigen Mengen gebildet.

1. Klammern der Vereinigungsmengen

Erste Menge:

Zweite Menge:

Dritte Menge:

2. Klammern der Mengen

Erste Menge:

Zweite Menge:

Dritte Menge:

So kann könnte das bis in die Unendlichkeit machen, wenn man nicht vorher schlapp macht.

Die Mathematiker haben manches mit den Religionen gemeinsam. Die Unendlichkeit ist ihr Metier. Nicht ohne Grund ist die moderne Mathematik aus der mittelalterlichen Scholastik entstanden, deren Vertreter sich mit solchen Fragen beschäftigten, wie viele Engel in einen Fingerhut passen. Das hört sich zwar lustig an, hatte aber einen konkreten religiösen Hintergrund. Die Mönche sammelten das antike Wissen und dachten nach. Die Christen überflügelten die konkurrierenden Muslime, eben wegen ihrer spekulativen Neigungen. Der Widerspruch in der Trinität und das germanisch-keltische Erbe ermöglichten ihnen ein neues Gedankengebäude zu errichten, das für die Mathematik sehr befruchtend war. Die Juden und Muslime hätten damals diese Leistungen nicht vollbringen können. Sie dachten zu gradlinig und dogmatisch in einer Richtung. Wer von der Wahrheit der eigenen Dogmatik überzeugt ist, wird denkfaul und hemmt den Fortschritt. Erst viel später stiegen auch die Juden, nachdem sie ihre religiösen Ghettos verlassen hatten, in die Mathematik ein und gaben ihr neue Impulse wie z. B. die Herren Fraenkel und von Neumann.

Die Römer waren zu dumm, die moderne Mathematik zu begründen. Ihre Spezialität war der Imperialismus und die Verwaltung des Römischen Reiches. Ihr Pragmatismus brachte ihnen einen Eintrag ins Geschichtsbuch ein, das sie selber schrieben, jedoch als große Wissenschaftler konnten sie sich nicht rühmen.

Die alten Griechen waren in der Hinsicht viel pfiffiger, obwohl sie oft nur Plagiatoren waren und den Mesopotamiern und Ägyptern über die Schulter geschaut hatten. Sie waren nicht aus dem Schatten der altägyptischen Geometrie heraus gekommen und verharrten auf einem bestimmten Erkenntnislevel. Immerhin fasste Euklid das geometrische Wissen seiner Zeit zusammen. Auch der esoterische Pythagoras beglückte die heutigen Schulkinder mit einem nach ihm benannten Satz, der schon den ägyptischen Feldvermessern bekannt war.

Der große wissenschaftliche Umschwung fand ein Jahrtausend später weiter westlich und nördlich in Europa statt. Erst die Nachfahren der Barbaren, also unsere Vorfahren, dachten völlig neu und entwickelten die wunderbare moderne höhere Mathematik. Darauf können wir stolz sein.

Unendlichkeitsaxiom (Inf)

Es gibt unendliche Mengen.

Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms. Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch