• Startseite
• Inhalt
• Index

Maßtensor (Metrischer Tensor)

Mit dem Maßtensor (metrischer Tensor) werden Abstände und Winkel zu berechnet. Der Tensor besteht aus einer Matrix mit Zahlen über die Länge von Vektoren und den Winkel zwischen ihnen. Wir können zum Beispiel herausfinden, wie weit zwei Punkte voneinander entfernt sind oder wie steil eine Kurve an einem bestimmten Punkt ist.

Die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, werden als kovariant bezeichnet. Sie variieren bei Koordinatentransformationen miteinander.

Die Komponenten des metrischen Tensors sind die Skalarprodukte aus den lokalen Basisvektoren, die auf dem Radius und dem Azimutwinkel basieren.

Maßtensor:

Der hochstehende Index symbolisiert die Skalarprodukte der kombinatorischen Ableitungen nach den beiden Variablen.

Der Maßtensor ist ein Kollektor, in dem alle Kombinationen der Skalarprodukte der Einheitsvektoren vom Radius und des Azimutwinkels aufgelistet werden. Der Name erinnert an den Gradienten.

Ausrechnen der Komponenten des metrischen Tensors.

a) Einheitsvektor Radius mal Einheitsvektor Radius

(Trigonometrischen Pythagoras benutzen)

b) Einheitsvektor Radius mal Einheitsvektor Winkel

( nach vorne bringen)

c) Einheitsvektor Winkel mal Einheitsvektor Radius

Wegen der Symmetrie ist das Ergebnis

d) Einheitsvektor Winkel mal Einheitsvektor Winkel

(Trigonometrischen Pythagoras benutzen. Minus mal Minus ist plus.)

Nach den obigen Rechnungen ist damit

Nur in der Diagonale stehen brauchbare Werte. Die Nebendiagonalen enthalten null, weil ihre Skalarprodukte null sind.

Der Maßtensor ist ein Korrekturfaktor bei der Bestimmung von krummlinigen Flächen. Wenn er als ein zeitliches Veränderungsmaß am Ortsvektor aufgefasst wird, bestimmt er Geschwindigkeiten an Kurven.

Die Ortsveränderung entspricht dem Begriff Geschwindigkeit.