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Potenzmenge

Die Potenzmenge hat nicht mit der Potenz des Mannes zu tun, sondern besteht aus den Teilmengen einer Menge. Von einer Menge werden alle damit möglichen Teilmengen gebildet.

Formal:

Die Potenzmenge P besteht aus ihren Teilmengen U. Der Buchstabe U ist abgeleitet von Untermenge.

Die Potenzmenge entsteht durch eine kluge Vermehrungsaktion von Teilmengen und wird deshalb als würdig gefunden, ein eigenes Axiom zu bilden, das Potenzmengenaxiom (Pot).

Beispiel

Aus der Menge {x, y, z} sollen alle möglichen Teilmengen P(x, y, z) ermittelt werden.

Die Vorgehensweise ist immer gleich. Man fängt mit der leeren Menge an, fährt fort mit den Einzelelementen, macht weiter mit den Zweierelementen. Schließlich bleiben die Dreierelemente übrig.

Leere Menge:

Einzelelemente: {x}, {y}, {z}

Zweierelemente: {x, y}, {x, z}, {y, z}

Dreierelemente: {x, y, z}

Das sind alle Teilmengen, die einem Venn-Diagramm so aussehen:

Teilmengen der Menge {x, y, z} (Quelle: Stephan Kulla)

Anderes Beispiel

Die Potenzmenge der leeren Menge ist die einelementige Menge der leeren Menge. Sie hat nur das eine leere Element, besitzt deshalb keine Elemente. Das klingt ein wenig verrückt.

Vergleiche:

Die leere Menge ist nicht gleich der Menge mit dem einen Element „leere Menge“. Die Menge mit der leeren Menge ist ein komplexeres Gebilde als nur die leere Menge allein.