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Potenzmengenaxiom (Pot)

Potenzmengenaxiom (Definition)

Ist eine Menge, so gibt es eine Menge, deren Elemente genau die Teilmengen von sind, die Potenzmenge.

Symbolik

Ist endlich mit n Elementen, so hat die Potenzmenge Elemente.

Ist endlich mit Elementen, so gibt es genau k -elementige Mengen in der Potenzmenge von (bzw. k -elementige Teilmengen in).

Zu jeder Menge A existiert eine Menge B, die genau die Teilmengen von A als Elemente besitzt.

Formal wird die Potenzmenge ziemlich unverständlich ausgedrückt.

Wenn-dann-Beziehung:

1. Vorne stehen die Quantoren. Die Menge A soll die Ausgangsmenge bezeichnen, von der mittels der Teilmengen T die Potenzmenge gebildet wird

2. Die Hauptaussage ist, dass die Teilmengen T in der Potenzmenge P enthalten sind . Es gibt mindestens eine Potenzmenge P, die dieses Kriterium erfüllt.

3. Dann folgt der Hinweis, warum das so ist, eben wenn die z-Elemente in den Teilmengen T enthalten sind, dann sind sie auch in der Ausgangsmenge A enthalten.

Das ist die Ausgangsmenge A.

Die Potenzmenge P(A) mit ihren Teilmengen T

Statt der extrem abstrakten Schreibweise von oben ist auch diese einfachere Notation üblich. Nur ist sie nicht so exakt und schlabbert die Quantoren.

Die Potenzmenge von A ist eine Menge, die aus lauter Teilmengen T von ihr gebildet wird. Die Menge T hat die Eigenschaft (|) Teilmenge von A zu sein.

Die Potenzmenge besteht aus allen seinen Teilmengen, inklusive der leeren Menge. Sie wird durch eine systematische Kombination aller seiner Elemente gewonnen. Die Notation einer Potenzmenge ist P(X). Es gibt  verschiedene „Kringel“ für diese Mengenbezeichnung:

Braucht man unbedingt ein Extrasymbol für die Potenzmenge? Das P als Abkürzung für die Potenzmenge ist hier doch schwer zu erkennen und befremdet den Leser sehr. Ich benutze lieber das lateinische große P und definiere es als Potenzmenge.

Wichtig ist, Teilmengen selber bilden zu können, was aber nicht so schwer ist. Dazu geht man systematisch vor. Erst die leere Menge, dann die volle Menge, also alle Elemente aufschreiben. Nun geht es weiter mit den Einzelelementen. Dann die Zweierelemente auflisten. Bei den Zweierelemente systematisch das erste Element mit den anderen Elementen (dem 2. und 3. Element) verbinden. Wenn das erledigt ist, nun das zweite Element mit dem letzten Element, dem 3. Element, verbinden. Das erste Element ist x, das zweite Element ist y und das dritte Element ist z.

Beispiel

P({x, y, z}) = ?

1. Leere Menge: {}
2. Die volle Menge {x, y, z}
3. Die Einzelelemente: {x}, {y}, {z}
3. Die Zweierelemente: {x, y}, {x, z}, {y, z}

Bei diesem Beispiel gab es nur drei Elemente. Bei vier oder fünf Elementen geht man analog vor. Das ist ein wenig mühselig, schärft aber die Aufmerksamkeit.
Die Potenzmenge kann man schön mit dem Hassediagramm darstellen (aber nur bis zu 3 Elementen, sonst braucht man einen Kompass).

Hassediagramm der Potenzmenge von {x, y, z}

Das ist vergleichbar mit einer Matroschka-Puppe aus Russland. Die Teilmengen fangen bei ganz klein an und werden immer größer.

Matroschkas

Die Anzahl der Teilmengen einer Potenzmenge X ergibt sich aus der einfachen Formel:

Die Betragsstriche bei X sind weiter nichts als die Anzahl der Elemente der Menge X. Man nimmt nur 2 hoch die Anzahl der Mengenelemente und weiß, wie viele Teilmengen vorhanden sind. Bei 3 Elementen sind das 8 Teilmengen, denn 

Die Potenzmenge enthält die leere Menge.

Die Menge X selber ist Teilmenge von sich selbst.

Die Potenzmenge der leeren Menge ist die leere Menge.

Ist X endlich mit n Elementen, so hat die Potenzmenge  Elemente. Die Mächtigkeit der Potenzmenge wird bestimmt durch eine fortlaufende Potenzierung zur Basis 2 der beteiligten Elemente n.

Ist X endlich mit n Elementen, so gibt es genau  k-elementige Mengen in der Potenzmenge von X. Die Anzahl der Teilmengen k wird bestimmt durch den Binomialkoeffizient.