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Rang einer Matrix

Definition

Sei A eine Matrix vom Format (m, n), dann heißt die Maximalanzahl linear unabhängiger Spalten (Zeilen) von A Spaltenrang (Zeilenrang).

Beispiel

→ Spaltenrang = 2

→ Zeilenrang = 2

Satz

Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix sind gleich. Wir sprechen daher vom Rang einer Matrix:

Bestimmen des Ranges einer Matrix

Vierte Zeile durch 2 und in zweite Zeile verschieben, Zeile 2 und 3 rücken entsprechend um eine Zeile nach unten.

Dies erleichtert Rechnung und dient der besseren Anschaulichkeit des Ergebnisses.

zweite Zeile mal 3 und von dritten Zeile abziehen

zweite Zeile mal

5 und von vierter Zeile abziehen

dritte Zeile

durch -13, vierte durch -16, dritte von vierte abziehen

, da

vierte Zeile linear abhängig von den anderen war

Es sei jetzt A eine quadratische Matrix

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren einer Matrix heißt Zeilenrang, die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren heißt Spaltenrang.

• Dimension der linearen Hülle der Zeilenvektoren

Zeilenrang = dim

• Dimension der linearen Hülle der Spaltenvektoren

Spaltenrang = dim

• Der Spalten- und Zeilenrang sind immer gleich

• Der Rang einer Matrix ist gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang

Zeilen-/Spaltenoperationen

Durch folgende Operationen in einer Matrix wird deren Rang nicht beeinflusst.

1. Multiplikation einer Zeile bzw. Spalte mit einem Skalar

2. Vertauschen von zwei Zeile bzw. Spalten

3. Zu einer Zeile bzw. Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile bzw. Spalte hinzu addieren