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Reguläre Matrix

Definition

Eine Matrix A vom Typ (n, n) heißt regulär, wenn , d.h. wenn A den maximal möglichen Rang besitzt.

Reguläre Matrix

Satz

Eine Matrix ist genau dann regulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Gibt es eine Matrix X, für die gilt: mit E = Einheitsmatrix?

Wenn „ja“, dann heißt X die zu A inverse Matrix und A heißt invertierbar:

Unter welchen Bedingungen existiert ? Wie können wir berechnen?

mit mit 1 in i-te Spalte

Um X zu berechnen, haben wir n lineare Gleichungssysteme für die gesuchten Spaltenvektoren zu lösen. Ist A regulär, so gilt und die Cramersche Regel zeigt, dass diese Gleichungen genau eine Lösung haben.

Damit existiert und ist eindeutig bestimmt. Ist umgekehrt lösbar, so folgt aus dem Multiplikationssatz . Daher muss gelten , A und X sind regulär.

Satz

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist.

ist in diesen Fall eindeutig bestimmt und ebenfalls regulär. Außerdem gilt .

Rechenregeln für inverse Matrizen

Beweis 2)

Berechnung von

mit Hilfe von Determinanten

X habe die Spalten , sind Lösungen der Gleichung

Folgerung:

Die Elemente x_kj der Matrix sind gegeben durch:

d.h.

Beispiel 1)

prüfen auf Invertierbarkeit →

D_ij’s berechnen, i-te Spalte und j-te Zeile wird gestrichen, Unterdeterminante berechnen.

Unterdeterminanten nur mit multiplizieren, nicht mit dem Wert auf a_ij.

Beispiel 2)

mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus