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Richtungsableitung

Hier geht es um die Steigung von Vektoren in einem bestimmten Punkt .

Wir betrachten als einen normierten Richtungsvektor. Er hat also die Länge eins und zeigt irgendwohin in die „Landschaft“. Wie groß ist seine Steigung in einem gegebenen Punkt auf ihm? Wenn man die Steigungen (Richtungsableitungen) für alle Punkte (Komponenten) bezügliches des Vektors kennt, kann man sie als Höhenlandschaft plotten.

Ausführliche Schreibweise:

Bestimme die partiellen Ableitungen des Richtungsvektors an der Stelle .

Aufgrund der Normiertheit von ist

Koordinatenachsen können auch als Richtungsvektoren dienen. Das gilt besonders für die üblichen Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems. Sie heißen auch kanonische Basisvektoren:

bis

Die Ableitung in Achsenrichtung heißt partielle Differenziation.

Das ist die -te partielle Ableitung von an der Stelle . Existieren alle Ableitungen so heißt partiell differenzierbar an der Stelle. r. Sind zudem alle Ableitungsfunktionen stetig, so heißt stetig partiell differenzierbar oder kurz stetig differenzierbar.

Notation

Der bloße Zahlenindex reicht, wenn die Inputvariablen vom Typ sind.

Wir können partiell nach einer Variablen ableiten, indem wir alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln.

Beispiel

Leite partiell nach und ab.

(Kettenregel beachten. Die vorne stammt von der inneren Ableitung oben beim .)

( hat die Steigung eins. Der Rest bleibt unverändert.)

Beispiel

Leite partiell nach allen Variablen ab.

(x hat in allen Termen die Steigung eins. Die restlichen Variablen sind konstant.)

( kommt nur im zweiten Term mit Steigung eins vor. Die Steigung der anderen Termen ist null. Sie verschwinden.)

(Hyperbelregel: . Der abgeleitete Term wird negativ mit einer quadrierten Potenz bei der Variablen im Nenner.)

Beispiel

Differenziere den Vektor partiell.

Das Quadrat eines Vektors ist die Summe der Quadrate seiner Komponenten. Beweis über das Skalarprodukt:

Die Ableitung jeder Komponente des Vektors wird so geschrieben:

Jede Komponente hat hier also die gleiche Ableitung.

Das geschah nach der Ableitungsregel:

Vertauschungssatz der partiellen Ableitung (Satz von Schwarz)

Die Reihenfolge der partiellen Ableitung ist unerheblich. Sie ist beliebig vertauschbar.

Beispiel

Leite diese Ableitung nun nach ab.

Leite die Aufgabe nach ab.

Leite diese Ableitung nun nach ab.

Schlussfolgerung: