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Rotation um die y-Achse

Rotiert eine Funktion um die -Achse, braucht man die Umkehrfunktion . Die Umkehrfunktion wird quadriert und dann integriert. Die Grenzen des Integrals sind die -Werte.

Rotationsvolumen um die -Achse

Die Integrationsgrenzen und werden durch Einsetzen des Intervalls und in die vorgegebene Funktion errechnet.

Die Volumenformel entsteht aus der bekannten Flächenformel.

Die Struktur der Flächenformel spiegelt sich in der Rotationsformel wider. Der Radius wird über die Umkehrfunktion erzeugt.

Ein Volumen hat drei Dimensionen. In der Rotationsformel findet auf der -Achse eine der drei Dimensionen. Die beiden anderen Dimensionen verstecken sich in dem Quadrat von .

Beim Integralzeichen wird dies deutlich.

Beispiel

Die Funktion rotiert im -Intervall um die -Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper.

Das ist eine Parabel, die im -Achsenabschnitt ihren Scheitelpunkt hat. Sie nach oben offen, jedoch wird der Rotationskörper durch die Vorgaben und begrenzt.

Funktion

Variablentausch

(Nach x auflösen.)

Umkehrfunktion

Benutzen der Volumenformel

Einsetzen der Umkehrfunktion.

Quadrieren.

Grenzen über die vorgegebene Funktion errechnen und ins Integral einsetzen.

Integrieren.

Grenzen in die Differenz der beiden Terme einsetzen.

Die Zahlen innerhalb der Klammern berechnen.

Den Vorfaktor ausklammern. Vorzeichen werden plus wegen Minus mal Minus.

Taschenrechner benutzen.