Satz von Taylor

[image] Satz von Taylor

 

Ziel ist die Darstellung unbekannter Funktionen mit Hilfe von Polynomen anzunähern.

 

Betrachten des Polynoms

 

[image]

 

Beobachtung

 

[image], [image], [image], …, [image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image] Taylorsche Formel

 

[image] sei n-mal stetig differenzierbar und [image] existiere im (a, b). Dann gilt für jedes [image]:

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

 

und für das Restglied

 

 

[image]

 

 

wobei [image] und [image].

 

Bemerkung:

 

falls [image]

 

falls [image]

 

[image] kann nicht genau bestimmt werden

 

für [image]: [image]

 

[image]

 

Mittelwertsatz

 

[image] Beispiel

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

mit [image] für ein festes aber beliebiges x

 

[image]

 

[image] konstant bezüglich n

 

[image]

 

[image] wähle Konstante

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

Ergebnis:

 

Für jede Zahl [image] gilt die Taylorreihe:

 

[image]

 

 

speziell für [image]:

 

[image]

 

[image] (legen wir fest)

 

[image] bei [image] [image]

 

Beispiel 2: [image] für alle x differenzierbar

 

[image]

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

 

Abschätzung des Restgliedes:

 

[image]

 

Ergebnis:

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]