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Spatprodukt

Das Spatprodukt ist das Volumen eines besonderen Körpers und zwar wird er aus einem Parallelogramm gebildet. Deshalb heißt er auch Parallelepiped (Parallelflach).

Spat

Das Volumen des Spats ergibt sich aus der Fläche des Parallelogramms (unten) und der Höhe , die senkrecht darauf steht.

Die Grundfläche wird über das Vektorprodukt errechnet.

Der Winkel der beiden Vektoren und heißt Alpha. Ich nenne ihn Azimutwinkel (= Wegewinkel).

Die Höhe wird über den Satz des Pythagoras berechnet.

Umgeformt:

Der Winkel Beta befindet sich oben links beim Vektor . Ich nenne ihn Polarwinkel (= Höhenwinkel). So kann man ihn gut von dem anderen Winkel unterscheiden.

Die Variablen werden in die Volumenformel eingesetzt.

Als Vektoren geschrieben:

Die Fläche des Parallelogramms wird mit der senkrechten Höhe multipliziert. Das ergibt sein Volumen .

Beispiel

Berechne das Volumen des Spats.

Formel:

Vektorprodukt:

Skalarprodukt:

Das Spatvolumen beträgt Volumeneinheiten. Das negative Vorzeichen verschwindet wegen den Betragsstrichen.