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Stetigkeit

Definition

Eine Funktion heißt stetig an der Stelle , genau dann, wenn der Grenzwert existiert und wenn gilt:

Symbolik

Definition

Sei und x₀ ein fester Punkt aus . f heißt stetig in x₀, wenn , so dass .

Die Funktionswerte weichen um weniger als ε von ab, wenn nur x nah genug an x₀ liegt. Und dies muss für ein beliebiges gelten.

Ist und f stetig in allen Punkten von M, so heißt f stetig auf M. Ist und f überall stetig, so heißt f eine stetige Funktion.

Beispiel

ist stetig, da

Beispiel

ist stetig, falls ,

Stetigkeit

Definition

x₀ sei HP. f ist stetig in x₀ genau dann, wenn aus und folgt für beliebige mit .

Satz 5

Sind f und g in x₀ stetig, so ist dies durch , und falls

Sind f und g stetige Funktionen, so ist es auch die mittelbare Funktion

Beispiele

Alle Polynome mit konstanten Koeffizienten sind stetig

Alle gebrochen rationale Funktionen sind in ihrem Definitionsgebiet stetig

falls

sind stetig

, stetig auf Definitionsgebiet

e^x ist stetig