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Substitutionsregel

Um die Substitutionsregel der Integration zu entwickeln, braucht man eine Substitutionsfunktion . Diese Funktion wird nach abgeleitet und in den Nenner des Integrals geschrieben. Dann integriert man und setzt danach die Substitutionsfunktion ein. Das Ergebnis ist die Stammfunktion .

Erklärungen:

Bei evtl. Grenzen werden die ursprünglichen Grenzen über die Substitutionsfunktion berechnet und . Die beiden Stammfunktionen und mit den neuen Grenzen werden subtrahiert.

Erklärungen:

Arbeitsweise beim Integrieren mit Substitution

Nenner-Schema

Bei der Substitutionsmethode kommt es auf eine geschickte Substitution eines Ausdrucks hinter dem Integral an.

Nach der Substitution vereinfacht sich oft die Funktion hinter dem Integralzeichen (durch Kürzen) und wird dadurch lösbar.

Das Nenner-Schema ist bei Wurzelausdrücken hinter dem Integral nicht anwendbar.

Unbestimmte und bestimmte Integrale unterscheiden sich nur in den Integrationsgrenzen.

Beispiel (ohne Grenzen)

Integriere durch Substitution.

Substituiere: und setze in die Formel ein.

Differenziere nach .

Und setze in die Formel ein.

Kürze .

Integriere.

Setze die Substitution ein.

Beispiel (mit Grenzen)

Integriere durch Substitution.

Substituiere: .

Berechne die obere und untere Grenze über die Substitutionsfunktion.

Setze die Ergebnisse in die Formel ein.

Differenziere nach .

Und setze in die Formel ein.

Kürze .

Integriere.

Setze die Grenzen ein.

Minus mal minus gleich plus. Das Minuszeichen bei ein halb in die Klammer bringen.

Beispiel (ohne Grenzen)

Integriere durch Substitution.

Substitution:

Ableitung von :

Einsetzung von :

Integration:

Einsetzung von :

Beispiel (mit Grenzen)

Integriere durch Substitution.

Substitution:

Ableitung von :

Berechnung der neuen Grenzen:

Einsetzung von , und :

Integration:

Einsetzung der Grenzen in :

Beispiel

Integriere durch Substitution

Substitution:

Ableitung von :

Berechnung der neuen Grenzen:

Einsetzung von , und :

Mit dem Kehrwert multiplizieren und kürzen.

Integration:

Die Wurzel in gebrochene Hochzahl verwandeln.

Integrationsregel n+1 anwenden.

Ausrechnen.

Mit Kehrwert multiplizieren und Wurzelzeichen anwenden.

Einsetzung der Grenzen in :

-Schema

Dieses Verfahren ist dann anzuwenden, wenn das einfachere Nenner-Schema nicht klappt. Hier muss man die Substitutionsfunktion extra umformen und nach auflösen, um daraus die Ableitung zu bilden. Die Ableitung wird direkt hinten beim Integral eingesetzt.

Beispiel

Integriere nach dem -Schema.

Substitutionsfunktion:

Auflösen nach :

Ableitung nach :

Ersetzen von und:

Ausrechnen.

Integration:

Rückersetzung:

Zur Übung:

Obiges Beispiel mit Integrationsgrenzen

Neue Ausgangsfunktion

Die Substitutionsfunktion lautete:

Bilde die neue untere Integrationsgrenze, indem du die alte Integrationsgrenze in die Substitutionsfunktion eingibst. Bei der oberen Integrationsgrenze verfahre analog.

Benutze die neuen Integrationsgrenzen, indem du hinter der Ergebnisfunktion einen denkrechten Strich setzt und die Differenz berechnest. Gemeint ist die Ergebnisfunktion mit dem vor der Rückersetzung!

Ergebnisfunktion ohne Grenzen:

Ergebnisfunktion mit den Grenzen:

Einsetzen in .

Trigonometrie-Schema

Bei Wurzelausdrücken mit quadrierten -Variablen kann man ausprobieren, ob eine Substitution über eine trigonometrische Formel die Funktion vereinfacht. Der Satz des Pythagoras kommt hier dann zum Einsatz.

Beispiel

Integriere nach dem Trigonometrie-Schema.

Substitutionsfunktion:

Einsetzen in ergibt:

Satz des Pythagoras:

Einsetzen in den Nenner.

Radizieren und kürzen ergibt:

Weiter mit der Berechnung des Integrals nach dem -Schema.

Ableitung der Substitutionsfunktion:

Beim Integral hinten anfügen und kürzen.

Die Integration ergibt das Ergebnis:

Wir brauchen eine Funktion, die mit beginnt. Das liefert die Umkehrung der Substitutionsfunktion:

Nach dem Einsetzen in die -Ergebnisfunktion:

Zur Übung:

Obiges Beispiel mit Integrationsgrenzen

Neue Ausgangsfunktion

Die Substitutionsfunktion lautete:

Bilde die neue untere Integrationsgrenze, indem du die alte Integrationsgrenze in die Substitutionsfunktion eingibst. Bei der oberen Integrationsgrenze verfahre analog.

Benutze die neuen Integrationsgrenzen, indem du hinter der Ergebnisfunktion einen denkrechten Strich setzt und die Differenz berechnest. Gemeint ist die Ergebnisfunktion mit dem vor der Rückersetzung!

Ergebnisfunktion ohne Grenzen:

Ergebnisfunktion mit den Grenzen:

Einsetzen in .