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Integration durch Substitution

Bei der Integration durch Substitution wird versucht, einen Ausdruck mit durch einen anderen Ausdruck vorteilhaft zu ersetzen. Der Integrand soll dadurch vereinfacht werden und zwar durch Kürzen eines Bruchs, wenn möglich. Die Substitution soll zum Wegfall von Variablen im Integranden führen.

Vorgehensweise:

Suche dir einen -Ausdruck in der gegebenen Funktion aus und benenne ihn (= Substitutionsfunktion ) um und setze die neue Variable in die alte Funktion ein, die nun substituierte Funktion heißt.

Dann differenziere die Substitutionsfunktion nach . Anschließend dividiere das Differenzial durch die substituierte Funktion . Kürze ggf. den Bruch.

Das unbestimmte und bestimmte Integral unterscheiden sich ein wenig.

Unbestimmtes Integral:

= ursprüngliche Funktion = substituierte Funktion

= Substitutionsfunktion = differenzierte Substitutionsfunktion (nach )

Hier wird der -Ausdruck durch die Variable ersetzt. Das Differenzial wird dann durch die substituierte Funktion dividiert. Beim unbestimmten Integral muss man das rücksubstituieren.

Bestimmtes Integral:

Hier wird der -Ausdruck durch die Variable ersetzt. Das Differenzial wird dann durch die substituierte Funktion dividiert. Beim bestimmten Integral wird das nicht zurücksubstituiert, sondern es werden die neuen Grenzen und errechnet. Dazu setze die alten Grenzen und in die Substitutionsfunktion ein und rechne die neuen Grenzen aus.

Alt: Altland, Mathematics for Physicists, Seite 223