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Supremum (kleinste obere Schranke)

Das Supremum (auf Deutsch „Oberstes“) einer Menge ist verwandt mit dem Maximum einer Menge und ist ein Element, welches „über“ alle anderen Elemente liegt. Die kleinste oberste Schranke einer Menge M wird abgekürzt: sup(M). Anschaulich ist das Supremum, eine obere Schranke, die kleiner ist als alle anderen möglichen oberen Schranken. Es gibt also verschiedene obere Schranken, beim Supremum ist nur die kleinste von diesen Schranken gemeint.

Supremum vom roten Diamanten

Von den oberen Schranken ist der Diamant in der Mitte die kleinste obere Schranke.

s = sup M

(i) s ist obere Schranke von M und

(II) für alle oberen Schranken von M gilt s < a oder s = a

Nach dieser Fallunterscheidung ist s eine obere Schranke. Diese Schranke ist jedoch kleiner als alle anderen möglichen oberen Schranken mit dem Namen a.

Beispiele

Folgende Beispiele beziehen sich auf Teilmengen der reellen Zahlen.

sup(1, 2, 3) = 3

Von den drei Zahlen ist die 3 offensichtlich eine obere Schranke und kann nur das Supremum sein. Sie ist gleichzeitig auch das größte Element dieser Menge.

Dann ist 1 das Supremum von x, denn 1 ist eine obere Schranke von X, da sie größer oder gleich (tatsächlich sogar echt größer) als jedes Element von x ist. Diese Zahl 1 liegt also „darüber“. Andere Zahlen größer als 1 kämen auch als Kandidaten für eine obere Schranke in Frage, doch die kleinste dieser unendlich vielen oberen Schranken ist nun mal die Zahl 1.

Nach dem Wurzelziehen aus 2 ergibt sich für x der Wert , eine irrationale Zahl, was durch das Nicht-Element-Zeichen hervorgehoben wird. Die Wurzel aus 2 ist die kleinste obere Schranke dieser Menge. Alle anderen oberen Schranken jenseits von ihr spielen hier keine Rolle.

Unendlich ist keine Zahl, stellt aber eine obere Grenze dar.

Das Supremum einer Summe von Zahlen ist gleich der Einzelsummen der Supremums.

Der Supremum einer negativen reellen Zahl ist die Zahl, die am nächsten zum Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl liegt. Diese Schranke heißt größte untere Schranke oder Infimum. Weil wir uns im negativen Bereich befinden, steht davor das negative Vorzeichen.

Wir befinden uns im negativen Bereich. Eine obere Schranke befindet sich dann in Richtung des Nullpunkts auf dem Zahlenstrahl. Die Zahlen hin zum Nullpunkt werden immer größer.

kleiner größer

Die größte untere Schranke, das Infimum, ist in diesem Beispiel -5. Das kommt daher, weil wir uns im negativen Bereich befinden. Die Zahl -5 ist größer als -10 und größer als -15. Von diesen drei Zahlen ist -5 die größte untere Schranke. Im negativen Bereich ist die Zahl nahe beim Nullpunkt immer größer als die Zahl weiter davon entfernt. Das einzusehen fällt schwer und ist eine beliebte Fehlerquelle.

Wenn man vor das Supremum das negative Vorzeichen schreibt entspricht das dem Infimum einer negativen Zahl. Die Zahlen in der Klammer hinter dem Supremum sind positiv, jedoch durch das negative Vorzeichen müsst ihr eine andere Blickrichtung einnehmen und am besten das Infimum der betreffenden negativen Zahlen bestimmen.