• Startseite
• Inhalt
• Index

Wachstumsverhalten der e-Funktion

• Wachstumsverhalten der Exponentialfunktion

Allgemeine Exp. Funktion / Logarithmus

bzw.

Exponentielle Wachstumsfunktion

Wachstums- und Zerfallsprozesse lassen sich mathematisch durch e-Funktionen beschreiben. Das ist immer dann der Fall, wenn bestimmte Veränderungen einer bestimmten Größe proportional sind. Das klingt sehr abstrakt. Dahinter verbirgt sich ein leicht zu durchschauendes Ereignis. Etwas wächst oder zerfällt um soundso viel Einheiten und gleichzeitig verändert sich um diese Veränderungen auch die Gesamtgröße.

Wir haben also eine bestimmte Stoffmenge, die sich mehr oder weniger stark verändert (). Je mehr sich diese Stoffmenge verändert, umso größer oder kleiner wird die ursprüngliche Stoffmenge A. Das ist abhängig vom Vorzeichen. Die Veränderung einer Stoffmenge ist ihrer Gesamtstoffmenge A proportional ~.

Bezeichnungen:

= Stoffmengenveränderung (+ oder -)

A = Stoffmenge

~ = Zeichen für einen proportionalen Zusammenhang

Wenn es bei dieser Betrachtungsweise bliebe, könnten wir die simple lineare Funktion nehmen.

Die Stoffmenge A wäre nur vom Koeffizienten und der Zeit t abhängig.

So einfach sind die Zusammenhänge in der Natur aber nicht. Man muss den zeitlichen Verlauf und die Kumulation der bereits erfolgten Stoffmengenveränderungen berücksichtigen. Die alten Veränderungen müssen irgendwie in die Funktion mit einbezogen werden. Das geht nicht mehr mit einer linearen Funktion, sondern mit der e-Funktion.

Wie kommt man nun an diese ominöse e-Funktion ran? Irgendwie muss man eine Exponentialfunktion erstellen, die angibt, wie groß die Stoffmenge A bei einer bestimmten Wachstumsrate und innerhalb einer bestimmten Zeitspanne t sein würde.

Statt der lineare Beziehung müsste es eine exponentielle Beziehung geben. Wie könnte man diese erstellen?

Ich verrate es schon vorher. Man braucht minimale Kenntnisse der Integralrechnung. Die Umformung von Logarithmen sollte auch geläufig sein.

Fangen wir mit der Ausgangsgleichung an.

Bezeichnungen:

= Stoffmengenveränderung pro Zeiteinheit

k = Koeffizient (Veränderungsrate in %)

A = Stoffmenge

Die Veränderungsrate ist ein bestimmter Prozentsatz, der angibt, wie groß die Veränderungen der Stoffmenge sind. Der Koeffizient k ist also ein bestimmter Prozentsatz, deshalb bedeutet , von der Stoffmenge A wird nur eine bestimmte Menge abgerechnet. Diese Teilmenge entspricht der Variablen , der Stoffmengenveränderung. Um die Stoffmengenveränderungen für mehrere Zeitintervalle zu berechnen, ist die Formel nicht unbedingt geeignet. Deshalb forme ich sie schrittweise um. Als Ergebnis soll eine Formel herauskommen, deren Output die Stoffmenge ist, die von der anfänglichen Stoffmenge , der Veränderungsrate k und der vergangenen Zeit t abhängig ist.

Berechnung

Die Ausgangsgleichung

soll nach der Variablen A aufgelöst werden. Gehen wir an die Arbeit!

Zuerst multiplizieren wir mit dt und dividieren durch A. Das ergibt eine Differenzialgleichung.

Um sie nach der Variablen A aufzulösen, benutzen wir die Integralrechnung. Wir schreiben also die Integralzeichen vor die Terme und setzen sinnvolle Integrationsgrenzen ein. Bei A bieten sich die Bezeichnungen (Ausgangsmenge) und A (aktuelle Menge) an. Bei der Zeitänderung dt im rechten Term ist der zeitliche Aspekt 0 (Startzeit) und t (aktuelle Zeit) sinnvoll. Das führt zur Integralgleichung:

Die Gleichung lautet nach der Integration (siehe Kapitel Integrale):

Da der natürliche Logarithmus noch stört, wird er durch die Operation exp (e hoch irgendwas) entfernt.

Das ergibt:

Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus auf der linken Seite der Gleichung beißen sich. Sie entfallen nach bekannten Regeln restlos.

Nach der Umstellung der Ausgangsstoffmenge auf die rechte Seite der Gleichung folgt das Endergebnis:

Das ist also die exponentielle Wachstumsfunktion. Die Stoffmenge ist abhängig von der anfänglichen Stoffmenge und dem prozentualen Wachstum k und der verstrichenen Zeit t, sowie der Eulerschen Zahl e.

Steht vor der Gleichung ein Minuszeichen, dann spricht man von exponentiellem Zerfall , was beim radioaktiven Zerfall schön zu beobachten ist.

Aus der einfachen Beziehung haben wir durch Anwendung bekannter Rechenregeln eine neue, quantitativ nutzbare Gleichung geschaffen. Das ist keine Hexerei, sondern pure Anwendung von Mathematik.