• Startseite
• Inhalt
• Index

Wurzeln komplexer Zahlen

Für das Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist es zweckmäßig auf eine Polarform (trigonometrische Form oder Exponentialform) umzurechnen.

Algorithmus: Man zieht lediglich die Wurzel aus dem Radius dividiert den Hauptwinkel sowie den periodischen Nebenwinkel durch den Wurzelexponenten .

Die -te Wurzel einer komplexen Zahl, hat Lösungen. Die erste Lösung der Wurzel bezeichnet man als den Hauptwert. Die anderen Lösungen sind Nebenwerte.

Beispiel

Die dritte Wurzel hat den Wurzelexponent . Es gibt also drei Lösungen , und , die mit dem Index benannt werden.

Dieser Index wird von null hochgezählt und endet bei .

Erste Lösung :

Zweite Lösung :

Dritte Lösung :

Der letzte Index ist immer um eins kleiner als der Wurzelexponent .

Formel für die komplexe Wurzel

Darstellung in der Exponentialform:

Der Radius r wird über den Satz des Pythagoras ermittelt und zwar aus dem reellen und imaginären Teil der komplexen Zahl.

Der Winkel wird über den Arkustangens ermittelt und zwar mit dem Quotienten aus dem imaginären Teil und dem reellen Teil der komplexen Zahl

Der Arkustangens ist kompliziert zu ermitteln. Seine Werte können der folgenden Übersicht entnommen werden.

Beispiel

Dann sind:

(negativ) und

Der Arkustangens ist

Der Winkel beträgt .

Die maximale Anzahl der Lösungen entspricht der Größe des Wurzelexponenten . Der Index beginnt bei null.

Neben der Darstellung der Wurzel in der Exponentialform gibt es noch die Darstellung in der trigonometrischen Form.

Was hier hinter dem Cosinus oder Sinus steht, findest du in der Exponentialform oben hinter dem bei der -Funktion.

Die Angabe der Lösungen in Cosinus und Sinus entnimmst du dem Schaubild des Einheitkreises. Errechne den Winkel ) und schaue dann Cosinus und Sinus (In den Klammern) nach.

Der Hauptwert ist die erste Lösung . Hier entfällt nach dem Einsetzen von der Term mit den Nebenwerten.

Exponentialform:

Trigonometrische Form:

Beispiel

Ziehe die dritte Wurzel aus der komplexen Zahl :

.

Der Wurzelexponent ist . Der Lösungsindex k liegt im Intervall von .

Benutze die Exponentialform.

Berechnung von :

Berechnung von :

Berechnung der Lösungen :

Lösungsindex (Hauptwert)

Lösungsindex

Der Wert entspricht einem Winkel von . Laut dem Schaubild des Einheitkreises ist das die trigonometrische Lösung:

Lösungsindex

Das entspricht einem Winkel von . Laut dem Schaubild des Einheitkreises ist das die trigonometrische Lösung:

Beispiel

Berechne die Wurzel aus .

Der Wurzelexponent ist . Der Lösungsindex liegt im Intervall von .

Benutze die Exponentialform.

Berechnung von r

Die Variable wird über den Satz des Pythagoras berechnet.

Berechnung von

Der Winkel wird über den Arkustangens (Quotient von Im und Re) berechnet

Der Wert des Arkustangens wurde anhand einer Tabelle abgelesen.

Berechnung der Lösungen :

Lösungsindex (Hauptwert)

Setze und ein.

Der Wert entspricht im Einheitskreis dem .

Lösungsindex

Variablen einsetzen und Hauptnenner bilden.

Ergebnis:

Der Wert entspricht im Einheitskreis dem .

Beispiel

Berechne die komplexe Wurzel.

Formel:

Den Radius über den Pythagoras errechnen.

Den Winkel berechnen. Er liegt im ersten Quadranten.

Im Intervall des Wurzelexponenten von .

????

Beispiel

Berechne die komplexe Wurzel

Formel:

Der Radius ist .

Es gibt und keinen Winkel. Das vereinfacht die Formel.

(Hauptwert)

(positive Ordinate)

(negative Abszisse)

(negative Ordinate)

Beispiel

Berechne die komplexe Wurzel

Formel:

Der Radius ist . Der Betrag ist wichtig.

Der Winkel oder . Dort liegt minus eins auf der Abszisse. Er liegt im zweiten Quadranten.

Werte einsetzen.

Ausrechnen.

Das entspricht auf dem Einheitskreis:

(Hauptwert im ersten Quadranten)

Den ersten Term hinter Cosinus haben wir bereits errechnet beim Hauptwert mit . Du kannst ihn getrost bei den weiteren Berechnung mitschleifen.

Das entspricht auf dem Einheitskreis:

(im zweiten Quadrantgen)

Hauptnenner ist .

Das entspricht auf dem Einheitskreis:

(im dritten Quadranten)

Hauptnenner ist .

Das entspricht auf dem Einheitskreis:

(im vierten Quadranten)