n-te Einheitswurzeln

Aufgabe

 

Alle Lösungen berechnen

 

[image], n fixiert

 

[image]

 

[image]

 

Potenzieren der Gleichung z.

 

[image]

 

Anwenden der Eulerschen Gleichung

 

[image]

 

Nach Voraussetzung soll [image] sein, daher

 

[image]

 

Die imaginäre Variable j soll verschwinden. Das geht Logarithmieren der Gleichung.

 

[image]

 

[image]

 

Beachten, dass sich ln und e aufheben. Der natürliche Logarithmus von 1 ist [image] wegen [image].

 

[image]

 

Die Variable j durch Division von [image]separieren.

 

[image]

 

Einsetzen von [image] in [image] ergibt

 

[image]

 

Beachten der Mehrdeutigkeit von φ

 

Logarithmieren der Gleichung. Beachten, dass [image] ist.

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

Dividieren von j und nach[image] auflösen.

 

[image]

 

[image]

 

Verschiedene k in [image] einsetzen:

 

[image]

[image]

[image]

[image]

 

[image]

 

Das bedeutet, dass [image] mit[image] alles Winkel für die Lösung sind.

 

Satz: n-te Einheitswurzel

 

Die Gleichung [image] hat n verschiedene komplexe Lösungen.

 

[image]

 

Beispiel

 

Errechnet die Wurzeln von [image]!

 

Lösung

 

Lauter k in die Gleichung


[image]

 

einsetzen. Der Exponent ist [image].

 

[image]

 

[image]

 

[image]

…

 

Allgemeine n-te Wurzel

 

[image] und

 

[image]

 

mit r > 0.

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]