Definition der Determinanten

Sei [image] eine [image]-Matrix mit Elementen aus [image] oder [image]. Dann heißt

 

[image]

 

Determinante von A (Definition nach Leibniz-Formel) mit folgender Schreibweise:

 

[image]

 

 

• n=2

 

[image]

 

 

• n=3

 

(Regel von Sarrus) Man schreibe die linke und mittlere Spalte rechts noch einmal daneben. Die 3 Diagonalen von links oben nach rechts unten werden nun multipliziert und mit positiven Vorzeichen addiert. Die 3 Diagonalen von rechts oben nach links unten mit werden nun multipliziert und mit negativen Vorzeichen dazu addiert.

 

[image]

 

 

• Da Berechnungsformel in [image] dem Spatprodukt entspricht, bezeichnet man die Determinante auch mit Volumenform.

 

• bei größeren n macht es keinen Sinn geschlossene Ausdrücke anzugeben, da die Anzahl der Terme mit n! wächst.

 

• Bei Matrizen in Dreiecksgestalt (ober- oder unterhalb der Hauptdiagonale nur Nullen) ist

 

[image]

 

 

• [image]

 

 

• [image]

 

 

• [image]

 

 

• [image]

 

 

• bei komplex konjugierten Zahlen:

 

[image]

 

Satz: Für [image] gelten folgende Rechenregeln

 

Sei [image] mit

 

[image] als Spaltenvektor

 

[image] mit Einheitsmatrix

 

[image]

 

[image] eine Spalte wird mit λ multipliziert

 

[image] Austausch zweier Spalten bewirkt Minuszeichen

[image], b steht in i-te Spalte

[image], beim Transponieren werden Zeilen mit Spalten vertauscht → Gesetze gelten auch für Zeilen

 

[image]

 

[image], bei zwei gleichen Spalten (Zeilen) ist Determinante gleich 0

 

[image],

der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man das λ-fache [image] einer Spalte zu einer anderen addiert

 

[image] Beispiel

 

[image]