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Durchschnitt von Mengen (Schnittmenge)

Das ist die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind. Es handelt sich um die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen.

sprich: „A geschnitten B”

Die Schnittmenge ist der gemeinsame Teil von zwei Mengen. Das sind die Elemente, die beide Mengen enthielten. Sie müssen zuvor in beiden Mengen enthalten gewesen sein. Es genügt nicht, wenn sie nur in einer der beiden Mengen waren. Dann würde daraus niemals eine Schnittmenge.

Wichtig in diesem Zusammenhang ist auch, dass von den beiden Mengen noch Elemente übrig bleiben, die nicht zur Schnittmenge gehören. Es muss also noch Elemente von beiden Mengen geben, die außerhalb der Schnittmenge liegen. Wenn das nicht der Fall ist, liegt keine Schnittmenge vor.

(Quelle: Mate2Code)

Schnittmenge (in der Mitte)

Auf dem Schaubild seht ihr deutlich, dass die Schnittmenge (in der Mitte) jeweils gemeinsame Elemente der beiden Mengen hat.

Formal:

Sprich: Die Schnittmenge der Mengen A und B besteht aus den Elementen x, die sowohl in der Menge A als in der Menge B enthalten sind.

Das Wörtchen „und“ bedeutet hier immer: „sowohl – als auch“ oder „gleichzeitig“.

Im Grunde müsste man vor die Formel noch den Allquantor setzen, damit die Aussage kann präzise ist.

Die Schnittmenge ist eine spezielle Menge, eine Teilmenge, die durch „Aussonderung“ aus anderen Mengen entsteht, was unmittelbar zu dem Axiom des Aussonderungsschemas (Aus) führt.

Beispiel

Die beiden Mengen und sollen „geschnitten“ werden, also die gemeinsamen Elemente ermittelt werden.

Die Schnittmenge S sieht zunächst so aus:

Nun streiche ich alle Elemente raus, die nicht doppelt vorkommen. Die Dubletten kommen ungeschoren davon. Sie bilden die Schnittmenge.

Die Schnittmenge S hat sich herauskristallisiert.

Beispiel Nr. 2

Es soll gezeigt werden, wie man eine leere Menge erkennt. Gegeben sind die beiden Mengen und .

Welche Elemente haben die beiden Mengen gemeinsam (Schnittmenge)?

Antwort, gar keine. . Damit liegt eine leere Menge vor.

Zwei Mengen A und B sollen geschnitten werden, d.h. ihre gemeinsamen Elemente sollen ermittelt werden. Damit das nicht zu einfach aussieht, benutze ich Relationszeichen.

Die erste Aussage ist:

Die natürliche Zahl x soll kleiner oder gleich 6 sein. Dazu zählt ihr einfach alle natürlichen Zahlen von 6 abwärts bis zur Null. Die Null betrachte ich auch als natürliche Zahl.

Die zweite Aussage ist:

Habt ihr bemerkt, dass hier fast die gleiche Aussage wie bei A vorliegt? Nur das Relationszeichen < ist anders. Die Menge von B besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5. Die 6 zählt nicht mehr dazu.

Die Aussage für die Durchschnittsmenge lautet:

Die in der geschweiften Klammer aufgeführten Elemente bilden die Durchschnittsmenge der Mengen A und B.