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Kreis

Fläche des Kreises

Wer einmal von einer runden Pizza gegessen hat, ist bestimmt nicht auf die Idee gekommen, seine Oberfläche zu berechnen. Und doch ist die Pizza ein schönes Beispiel für einen Kreis.

Die Fläche eines Kreises zu berechnen hat schon viel Kopfzerbrechen bereitet. Er ist ja nicht so schön „gerade“ wie bei den oberen Figuren, sondern gleichmäßig „krumm“. Ihr werdet verblüfft sein, wenn ich euch sage, dass auch die Kreisfläche über die Formel für die Dreiecksflächen bestimmt werden kann. Man braucht dazu nur den Kreis in lauter Dreiecke zu „zerhacken“ und sie aneinander legen, um ihre Fläche zu ermitteln.

So sieht ein Kreis mit einem Durchmesser von aus. Das sind , also die Größe einer „normalen“ Konservendose.

(verkleinert dargestellter Kreis)

Jetzt zerlegt ihr den Kreis in lauter kleine Dreiecke.

Dann stellt ihr die einzelnen Dreiecke nebeneinander auf, so wie hier:

Die Dreiecke sind grau dargestellt. Ihre Höhe ist der Kreisradius. Ihre gesamte Grundseite ist so groß wie der Kreisumfang.

Schaut auf die Dreiecke im Kreis und macht euch klar, wie hoch sie sind und welche Gesamtbreite sie einnehmen. Das ist wichtig zum Verständnis der Flächenberechnung.

Unschwer ist zu sehen, dass die Gesamtfläche aller Dreiecke in dem unteren Rechteck aus dem halben Produkt des Umfangs mit dem Radius besteht. Das Rechteck ist also nur zur Hälfte mit Dreiecken ausgefüllt.

Bezeichnungen

ist die Fläche oder Flächeninhalt allgemein.

bezeichnet den Flächeninhalt eines Kreises, abgekürzt .

Ist das nicht lustig, auch die Kreisfläche lässt sich durch die Rückführung auf eine bereits bekannte Formel ermitteln?

Den Kreisumfang mit einem Lineal zu messen grenzt an „Idiotie“. Das klappt nie. Deshalb benutzt man besser ein Verhältnis und zwar zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises. Man teilt einfach den Umfang durch den Durchmesser und kriegt immer die gleiche „krumme“ Zahl (sprich pi) heraus. Wenn man das am Küchentisch probiert, erhält man ungefähr .

Ein idealtypischer Kreis

Die Verhältniszahl beim Kreis sieht so aus:

Der griechische Buchstabe erinnert an das griechische Wort für perimetron (Umfang).

Die Formel kann man auch mit prägnanten Buchstaben darstellen. Dabei wird auch der Radius mit in die Verhältniszahl eingebracht.

Oder das Gleiche, wenn man den Durchmesser durch den Radius ersetzt:

[Auflösen der Formel nach , dem Umfang]

Bezeichnungen

ist der Kreisumfang.

bezeichnet den Kreisdurchmesser.

ist der Radius eines Kreises, bekanntlich die Hälfte des Durchmessers, oder .

Warum das alles? Ganz einfach. Nun könnt ihr die Umfangsformel in die Formel für die Kreisfläche einsetzen.

Statt der schwerfälligen Wörter Umfang bzw. Radius werden nur ihre Abkürzungen benutzt.

Algebraische Umformungen

[Einsetzen der Umfangsformel ]

[Im Zähler quadrieren und durch kürzen]

Ende algebraische Umformungen

Die Fläche eines beliebigen Kreises beträgt

Sie ist also nur vom Radius abhängig. Die irrationale Zahl ist bekannt. Sie ändert sich nicht.

Kreisfläche

Die Kreisfläche ist formal größer als die Fläche eines Quadrats und zwar um die Zahl . In beiden Formeln kommt der Exponent vor.

Mit ein bisschen Knowhow habt ihr die Formel für die Kreisfläche selber ermittelt. Das ist echtes mathematisches Denken, das eben nicht daraus besteht, Formeln auswendig zu lernen, sondern sie herzuleiten versuchen und Zusammenhänge zu verstehen.