• Startseite
• Inhalt
• Index

Der Einheitskreis

Die Winkelbezeichnungen bzw. die Längenabschnitte auf dem Einheitskreis werden mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet. Die charakteristischen Winkel haben die Bezeichnung (tau) mit dem Index bis . Das entspricht den Winkeln bis .

Auch bei den trigonometrischen Funktionen wird die neue Längenbezeichnung des Kreisbogens benutzt. Im Einheitskreis mit dem Radius ist der Kreisumfang , also das Doppelte der Zahl , die ich in meinem Buch nicht mehr benutzen werde. Die Formel für den Kreisumfang lautet:

Der Wert des Sinus schwankt je nach Winkel oder Bogenmaß zwischen und . Das sind seine Maximalwerte. Die Hälfte des Kreisbogens entspricht bzw. hat den -Wert im Koordinatenkreuz. Die volle Länge hat ebenfalls .

Der Zusammenhang zwischen dem Winkel des Sinus in Grad bzw. Bogenlänge und seinem Wert auf der -Achse:

Im Koordinatensystem ist die senkrechte Strecke zwischen der -Achse und dem Kreisbogen der Wert des Sinus.

Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel  im Einheitskreis, so hat die Hypotenuse die Länge . Die Ankathete (unten) hat die Länge und die Gegenkathete (senkrecht) hat die Länge . Der Cosinus und Sinus sind also Längen! Der Winkel wird in eckigen Klammern als Index bei Tau geschrieben.

Wichtige Werte am Einheitskreis

Die Länge des Cosinus wird auf der -Achse gemessen. Bei null Grad hat er die volle Länge von 1. Dann schrumpft er auf der -Achse um einen bestimmten Wurzelfaktor bzw. und halbiert sich bei , was überrascht. Er verschwindet bei und liegt wieder flach bei , nur mit dem Kopf nach links (= negativ), hat den Wert . Der liegt dem gegenüber, was den Cosinus auf bringt. Einmal herum hat er dann wieder den Wert .

Der Sinus steht aufrecht und verläuft parallel zur -Achse.

Der Sinus hat bei null Grad keine Höhe, daher hat er hier die Länge . Bei ist er erwachsen mit dem maximalen Wert . Er wächst also stetig von bis . Bei hat er erst die Hälfte geschafft. Dann geht es immer höher um einen bestimmten Wurzelfaktor bzw. . Der liegt dem gegenüber, was den Sinus herunterfallen lässt (). Einmal herum landet der Sinus wieder bei .

Der Zusammenhang zwischen Cosinus und Sinus und den Bogenlängen.

Damit du ein Gefühl für den Sinus kriegst, ermittle den Wert von zeichnerisch. Dazu zeichne ein Koordinatensystem mit dem Durchmesser des Einheitskreises   8 Kästchen. Teile die Achsenabschnitte in 0.25-Schritte ein. Konstruiere mit dem Zirkel den Einheitskreis und trage mit dem Geodreieck einen -Winkel an die -Achse.

Zeichne das Lot, also eine Senkrechte zur -Achse, das durch den Schnittpunkt mit dem Kreis (oben) verläuft.

Lies die Länge der senkrechten Strecke (Sinus-Wert) auf der -Achse ab. Sie beträgt . Einen genauen Wert kannst du jedoch so nicht ermitteln.