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Das Wesen eines Vektorraums

Algebraische Struktur im

Definition: Es seien und

Die Addition ist eine positive assoziative und kommutative Operation.

Die Multiplikation ist kommutativ und distributiv, außerdem gilt und .

Das neutrale Element bezüglich der Addition ist der Nullvektor .

Gleichungen der Gestalt sind lösbar: .

Durch die Gültigkeit dieser Gesetze für den wird dieser zu einem „linearen Raum“ über den Körper der reellen Zahlen oder „Vektorraum“.

Definition

Sei eine Menge und ein Körper. Zu je zwei Elementen und aus gebe es genau ein Element . Zu jedem aus und jedem Element aus gebe es genau ein Element . heißt Vektorraum (VR) über , wenn die folgenden Grundgesetze gelten.

• Addition in

– Kommutativgesetz

– Assoziativgesetz

– Neutrales Element

und

– Inverses Element

• Multiplikation mit Körperelementen

– Neutrales Element

–

–

–