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Déle fulsuming (Partielle Integration)

De déle fulsuming wer utwarkt öwer de rúl fun mált fun de deling. De fulsuming is ja de ümwend fun de deling. Wen je en mált del, twé utlídes entstán.

(Die partielle Integration wird über die Produktregel der Differenziation erarbeitet. Die Integration ist ja die Umkehrung der Differenziation. Wenn du ein Produkt differenzierst, entstehen zwei Terme.)

Fulsum de delte mált fun un : (Integriere das differenzierte Produkt von und :)

Dí utlídes rix kunen elkén wer fulsumt. (Die Terme rechts können einzeln integriert werden.)

De letste utlíd sul wer afawert, dorüm breng de twéste utlíd up de linke síd. Ümstel de glíking.

(Der letzte Term soll isoliert werden, daher den zweiten Term auf die linke Seite bringen. Die Gleichung umstellen.)

Bi de twéste utlíd upbören sik, dorüm sríw .

(Beim zweiten Term heben sich auf, daher schreiben.)

Wi wilen fulsum en „riche“ mált . Dorüm de delt mut wer ümandert in en normige dör fulsuming.

(Wir möchten ein „richtiges“ Produkt integrieren. Daher muss das Differenzial durch Integration in ein „normales“ umgewandelt werden.)

Fulsum: . (Integriere: .)

In de glíking de andsel mut alsó wer fulsumt bi elke utlíd up de rixe síd. Dit wer dút klorbór met de nüe sambild. Wor forher stát, is jüs tau kíken. De delt heb ümand sik in (in de énste utlíd).

(In der Gleichung muss die Variable bei jedem Term auf der rechten Seite also integriert werden. Dies wird mit dem neuen Symbol kenntlich gemacht. Wo vorher stand, ist nun zu sehen. Das Differenzial hat sich in verwandelt (im ersten Term).)

Anstele fun de utword en nüe sambild wer benütet (in de dríste utlíd). Dordör de lóse formel för de déle fulsuming bekum en éndúge utkík.

(Statt des Ausdrucks wird ein neues Symbol benutzt (im dritten Term). Dadurch erhält die Lösungsformel für die partielle Integration ein einheitliches Aussehen.)

vgl. (Altland & Delft, 2019) Seite 223

Nach der Umstellung:

Die partielle Integration kann bei einem Produkt von Variablen benutzt werden. Sie erfolgt schrittweise nach einem bestimmten Verfahren durch Integration und Differenziation.

Es können zwei Typen von Integralen vorliegen:

Unbestimmtes Integral (mit Konstante):

Bestimmtes Integral (mit Integrationsgrenzen):

Die partielle Integration bietet sich bei Funktionen an, die aus einem Produkt bestehen. Einzelne Faktoren müssen integriert oder differenziert werden. Das hängt davon ab, ob die Integration zu einem einfachen Ausdruck führt oder nicht. Man muss dies ausprobieren und sich dann für eine Alternative entscheiden.

Verfahren:

Die Indizes an den Faktoren sind Anweisungen für den Lerner, was zu tun ist.

Erster Term:

Multipliziere den integrierten Faktor mit dem abgeleiteten Faktor . Integriere dann das Produkt.

Integriere den Faktor

Differenziere den Faktor

Zweiter Term:

Beim zweiten Term braucht man nur zu multiplizieren.

Multipliziere den integrierten Faktor mit dem unveränderten Faktor .

Hürde:

Man muss ein passendes elementares Integral für den ersten oder zweiten Faktor finden. Das geht durch Probieren, siehe bei den Beispielen die Punkte I und II.

Manchmal muss man noch mehrfach Integrale hintereinander lösen, wenn noch zusammengesetzte Produkte auftauchen, ebenfalls nach der Methode der partiellen Integration. Es empfiehlt sich, Nebenrechnungen zu machen und das Integrationssymbol mit einem fortlaufenden Index zu versehen.

Beispiel

Integriere partiell die Funktion

.

Prüfe, ob der erste (I) oder der zweite Faktor (II) einfacher zu integrieren ist.

I:
(sieht kompliziert aus)

II.
(ist ein einfacher Ausdruck)

Alternative (II) sieht einfacher aus, also differenziere den folgenden Faktor :

III.

IV.

Setze die berechneten Faktoren in die Formel der partiellen Integration ein.

Nach dem Einsetzen beim zweiten Term:

Es bleibt noch ein weiteres Integral übrig. Ziehe das negative Vorzeichen vor das Integral.

Berechne das elementare Integral des zweiten Terms. Dann bist du am Ziel. Ergebnis:

Beispiel

Integriere partiell die Funktion

.

Prüfe, ob der erste (I) oder der zweite Faktor (II) einfacher zu integrieren ist.

I:
(sieht kompliziert aus)

II.
(ist ein einfacher Ausdruck)

Alternative (II) sieht einfacher aus, also differenziere den folgenden Faktor :

III.

IV.

Setze die berechneten Faktoren in die Formel der partiellen Integration ein.

Nach dem Einsetzen:

Verschönere den Ausdruck. Dann bist du am Ziel.

Beispiel

Integriere partiell die Funktion

.

Prüfe, ob der erste (I) oder der zweite Faktor (II) einfacher zu integrieren ist.

I:
(ist ein einfacher Ausdruck)

II.
(sieht komplizierter aus)

Alternative (II) sieht einfacher aus, also differenziere den folgenden Faktor :

III.

IV.

Setze die berechneten Faktoren in die Formel der partiellen Integration ein.

Einsetzen in:

Berechne den zweiten Term partiell.

Beginn der Nebenrechnung für den zweiten Term:

(ist ein einfacher Ausdruck)

(sieht komplizierter aus)

III.

IV.

Formel der partiellen Integration:

Nach dem Einsetzen:

Berechne jetzt den zweiten Term. Es ist ein elementares Integral.

Minus mal Minus ergibt plus.

Ende der Nebenrechnung für .

Setze die Funktion in die Funktion y ein.

Verschönere den Ausdruck. Dann bist du am Ziel.