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Komplexe Multiplikation

Multiplikation

Ein Produkt imaginärer Zahlen mit einer geraden Anzahl von Faktoren ergibt eine reelle Zahl, mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren eine imaginäre Zahl

Den Exponenten durch 4 teilen.

oder ohne Rest

oder mit Rest 1

oder mit Rest 2

oder mit Rest 3

Exponent , Rest

Exponent 5, Rest

imaginäre Zahlen mit negativem Exponenten

Das Vorzeichen beeinflusst das Ergebnis

i^-n = (-i)ⁿ

Rest 1

Rest 2

Rest 3

Rest 0

Bei der Multiplikation werden die reellen und imaginären Terme normal berechnet. Beim Quadrat des ergibt sich minus eins.

Beispiel

Das Binom ausrechnen.

Das Quadrat von ergibt ein Minuszeichen vor dem Term. Nach und ordnen.

Komplexe Zahlen lassen sich einfach in der Polarform multiplizieren.

Beispiel

Die Faktoren sortieren.

Beispiel

Ausmultiplizieren.

Das Quadrat von ergibt .

Das Potenzgesetz anwenden.

Abkürzungen: o. = oben, u. = unten

Wie man multipliziert:

a) Differenz obere Komponente

Die oberen Komponenten werden miteinander multipliziert und dann die unteren Komponenten miteinander multipliziert. Die beiden Produkte werden subtrahiert.

b) Summe untere Komponente:

Die Komponenten werden kreuzweise multipliziert und dann addiert.

Die Komponenten werden nach dem Pythagoras berechnet:

Die Multiplikation geschieht nach der oben dargestellten Regel.

Die Additionstheoreme verkürzen den Vektor sehr. Die beiden Vorfaktoren werden vor die Klammer gezogen.

Resultat:

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Argumente (Winkel) addiert und die Beträge multipliziert.

Eigenschaften der Multiplikation

(1) Kommutativ

(2) Assoziativ

(3) Einselement der Multiplikation

Das Einselement liegt nur auf der -Achse.

Die Multiplikation mit dem Einselement bleibt nur die obere Komponente übrig.

Beispiel

Wenn , dann multipliziere:

(4) Inverse bezüglich der Multiplikation

Umkehrfunktion:

Bei der Umkehrfunktion tritt eine Spiegelung der Funktion auf. Die Rechenoperationen werden umgedreht. Der Vorfaktor wird also als Quotient behandelt. Das Argument erhält ein negatives Vorzeichen. Dadurch kippt die Strecke nach unten im Koordinatenkreuz. Die y-Komponente wird negativ.

Distributivgesetz

Die komplexe Addition und Multiplikation und ihre Verkettung gehorcht den gleichen Gesetzen wie bei den reellen Zahlen.