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Komplexe Potenz

Nun die komplexe Potenzformel ausprobieren.

Der Radius beträgt:

Für die Rechnung wird gebraucht.

Den Winkel berechnen.

Einsetzen der Werte in die Formel.

Ausrechnen.

Nenner erweitern.

Die komplexe binomische Formel ausrechnen.

Die imaginäre Zahl kann potenziert werden. Dabei gibt es bestimmte Regelmäßigkeiten. Man teilt den Exponenten durch und ermittelt den Rest. Dieser gibt Auskunft, ob gleich , , oder ist. Dadurch werden die Potenzen drastisch verringert.

Für Potenzen gilt:

Beispiel

(Rest 2 . Negative Abszisse)

(Rest 3 . Negative Ordinate)

(Kein Rest. Positive Abszisse)

(Rest ergibt .)

(Es gibt keinen Rest, also ist .)

(Rest ergibt .)

(Rest ergibt.)

Um eine komplexe Zahl mit zu potenzieren, bietet sich die Polarform an. Der Radius (Betrag) wird zur -ten Potenz genommen. Der Winkel wird mit multipliziert.

Herleitung

Über zwei trigonometrische Formeln werden die Länge des Realteils (Ankathete) und des Imaginärteils (Gegenkathete) errechnet.

Anders formuliert:

Nun beschäftigen wir uns mit dem Imaginärteil.

Anders formuliert:

Die komplexe Zahl ist eine Linearkombination von Re und Im.

Komponentenschreibweise:

Als Gleichung in trigonometrischer Form:

Exponentialform:

Jetzt folgt der Beweis für die Potenzierung einer komplexen Zahl. Die obige Gleichung wird mit potenziert.

Anstelle der trigonometrischen Funktionen wird die e-Funktion eingesetzt.

Das Potenzgesetz anwenden.

Zurückverwandeln in trigonometrische Funktionen.

Bei der Potenzierung wird der Radius potenziert und der Winkel mit der Potenz multipliziert.

Beispiel

Den Radius berechnen.

Den Winkel berechnen.

Mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Beispiel

Den Radius berechnen.

Den Winkel berechnen.

Mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Beispiel

Diese Aufgabe löse ich über den binomischen Lehrsatz.

Umformen.

Binomischen Lehrsatz benutzen.

Der Ausdruck wird mittels des binomischen Lehrsatzes ausgerechnet. Der Realteil ist und der Imaginärteil ist . Der Laufindex heißt .

Der Laufindex beginnt bei und endet bei dem gegebenen Exponenten . Er wird immer um eins größer. Er wird laufend vom Exponenten des Realteils subtrahiert und als wachsender Exponent des Imaginärteils benutzt.

Die Vorfaktoren stammen von den Fakultäten. Sie kommen nur bei den beiden mittleren Termen hinzu.

Vorfaktor bei

Vorfaktor bei

In einer Übersicht kannst du das Verhalten der einzelnen Faktoren schön nachvollziehen. Achte auf den Laufindex bei den Exponenten, der um eins größer wird.

(Beim Quadrat von wird das Vorzeichen negativ. Auch beim Rest wird’s negativ.)

Gesamtergebnis:

Das war nur das Vorspiel, um den Nenner zu bestimmen.

Nenner ersetzen.

Für den Nenner des Bruches muss ein exaktes Ergebnis gefunden werden.

Nach und auflösen, daher erst quadrieren.

Binom ausrechnen. Negatives Vorzeichen bei beachten.

Nach Realteil und Imaginärteil sortieren.

Durch Vergleich der Zahlenterme folgt:

Einsetzen in den Binom.

Ausrechnen und umstellen.

Auf den Hauptnenner bringen und ihn wegkürzen.

Diese biquadratische Gleichung hat Lösungen.

Lösung nach der --Formel mit , welches ersetzt.

Die Variable muss runtergebrochen werden auf , indem man das Ergebnis radiziert. Beim Radizieren der zweiten Lösung würde ein imaginärer Wert rauskommen, den wir nicht gebrauchen können. Wir suchen ja den Realteil .

Das ist der Realteil der Aufgabe:

Der Imaginärteil der Aufgabe wird über die Gleichung errechnet.

Der Lösungsweg der Aufgabe ist dann wie folgt:

Umformen.

Die Wurzeln entfallen bei der Multiplikation. Mit dem Kehrwert multiplizieren.

Den Nenner bereinigen durch Erweitern mit einem negativen Ausdruck.

Ausrechnen.

Nenner ausrechnen.

Mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Nun löse ich die Aufgabe über die komplexe Potenzformel.

Den Radius berechnen. Erst über den Pythagoras die Länge der Hypotenuse berechnen und dann potenzieren.

Den Winkel berechnen.

Mit dem Taschenrechner ausrechnen.

Wenn man genügend Nachkommastellen berücksichtigt würden sich die Ergebnisse aus den beiden Rechenmethoden (binomischer Lehrsatz versus komplexe Potenzierung) angleichen.

n-mal

Rechnen mit