Glättung singulärer Modelle durch Simulation
In komplexen physikalischen und technischen Systemen treten häufig Singularitäten auf, sei es in Form zeitlicher Sprünge, impulsartiger Anregungen oder struktureller Diskontinuitäten in Netzwerken. Diese idealisierten Modelle, oft durch Heaviside oder Delta-„Funktionen“ beschrieben, sind zwar mathematisch handhabbar, führen jedoch in numerischen Simulationen zu Instabilitäten und verfehlen die physikalische Realität, in der Übergänge stets endlich und glatt verlaufen. Im Rahmen dieser Arbeit wird gezeigt, wie die hyperbolische e-Funktion als universelles Regularisierungswerkzeug dient, um scharfe Grenzflächen systematisch in kontinuierliche, differenzierbare Prozesse zu überführen. Anhand dreier repräsentativer Beispiele, dem „weichen Schalter“ in RL-Schaltungen, dem „weichen Impuls“ im harmonischen Oszillator und der realen Diodenkennlinie im Gleichrichternetzwerk, wird demonstriert, dass glatte e-basierte Approximationen nicht nur numerisch robuste Lösungen ermöglichen, sondern auch das tatsächliche Systemverhalten physikalisch präziser abbilden. Die begleitenden Python-Simulationen validieren die analytischen Vorhersagen und zeigen die Konvergenz der geglätteten Modelle gegen ihre idealisierten Grenzfälle. Damit etabliert sich die e-Funktion nicht nur als mathematisches Hilfsmittel, sondern als unverzichtbares Bindeglied zwischen idealer Theorie und realer Modellierung komplexer Systeme.
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