Ein numerisches Framework zur Quantifizierung von Randphänomenen auf fraktalen Strukturen
In dieser Arbeit wird ein neuartiger numerischer Operator, der Γ-Operator, vorgestellt, der speziell für die Analyse von Randphänomenen auf fraktalen Strukturen entwickelt wurde. Im Gegensatz zum klassischen Cauchy-Integral, das die tangentiale Zirkulation entlang einer Kurve erfasst, quantifiziert derΓ-Operator die normale Sprungdichte quer durch die Kurve, eine Größe, die für verteilte Singularitäten relevant ist, aber im klassischen Residuensatz nicht abgebildet wird. Er ermöglicht die systematische Quantifizierung von Dichten und Sprüngen entlang strukturierter Kurven, von reellen Fraktalen wie der Koch-Kurve bis hin zu komplexen Fraktalen wie Julia-Mengen. Das Herzstück der Methode ist ein effizienter Algorithmus, der eine „Randdichte“ ρΓ(t) berechnet, die den Unterschied der Funktionswerte auf beiden Seiten der fraktalen Grenze misst, gefolgt von einer Integration über die fraktale Länge. Die Implementierung, basierend auf der Trapezregel und adaptiven Verfahren, zeigt eine bemerkenswerte Robustheit: Für glatte Strukturen wird eine exponentielle Konvergenzrate erreicht, während sie sich bei fraktalen Strukturen stabil bei O(N^-0:5) hält, entsprechend ihrer fraktalen Dimension.
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