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Definition der Ableitung

Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit (Definition)

Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle , wenn der Grenzwert

existiert. Man nennt diesen Grenzwert Ableitung von an der Stelle .

Bezeichnung

.

Differenzierbarkeit (Definition)

Es sei die Funktion in einer Umgebung von definiert. Existiert eine Zahl und eine Funktion mit

, so dass

so heißt die Funktion in differenzierbar.

die Zahl wird ihre Ableitung in genannt, in Zeichen .

Die ganze lineare Funktion

wird der lineare Anteil von an der Stelle genannt.

Differenzierbarkeitsbereich (Definition)

Die Menge aller Stellen des Definitionsbereichs von, an denen differenzierbar ist, heißt Differenzierbarkeitsbereich von.

weil

Alt:

Die Ableitung einer Funktion entsteht durch die Grenzwertberechnung einer Funktion .

Dieser Ausdruck führt zur Ableitung einer Funktion.

Definition der Ableitung:

Der Grenzwert wird bestimmt, indem das Inkrement am Schluss der Berechnungen im Ausdruck dahinter auf null gesetzt wird.

Dabei ist .

Zuerst wird eine Differenz von dieser Inkrementfunktion und der ursprünglichen Funktion voll durchgerechnet und dann nach dem Kürzen das Inkrement auf null gesetzt.

Beispiel

Berechne den Grenzwert von .

Benutze die Definition der Ableitung.

Setze in die Definition ein, wobei der erste Term um das Inkrement erweitert wird.

Rechne die binomische Formel aus.

Nach der Subtraktion verschwinden der erste und der letzte Term.

Kürze mit dem Inkrement.

Setze das Inkrement auf null. Ergebnis:

Anmerkung:

Beim Ausrechnen von höheren Potenzen kommt es nur darauf an, ob ein „schlichtes“ Inkrement vorliegt. Inkremente mit Potenzen ab zwei werden ja auf null gesetzt und machen ihr Produkt auch zu null.

Beispiel

Berechne die Ableitung der Funktion:

Aufgelöst in ein Binom ergibt:

Rechne die zweite Klammer aus.

a) Multipliziere den Faktor mit dem zweiten Klammerausdruck.

Das quadrierte Inkrement braucht man nicht mehr multiplizieren. Es hat ja eine höhere Potenz.

b) Multipliziere das Inkrement mit dem zweiten Klammerausdruck.

Die Multiplikation des Inkrements mit einem anderen Inkrement würde zu höheren Potenzen führen. Sie kann entfallen.

c) Resultat

Setze die Teilergebnisse aus (a) und (b) zusammen.

Bei der Ableitung wird der erste Term wegsubtrahiert. Das „schlichte“ Inkrement wird weggekürzt.

Ergebnis:

Die Nullstelle der 2. Ableitung zeigt uns den x-Wert für den Extrempunkt der 1. Ableitung. Dieser wiederum zeigt uns, wo die Ausgangsfunktion seinen Wendepunkt hat.

Infinitesimalrechnung

In diesem Kapitel lernt Ihr ganz viel über große und ganz kleine Zahlen und die Unendlichkeit. Zwei große Mathematiker beschäftigten sich mit dem Unendlichen und schufen die Infinitesimalrechnung diesem schwierig aussprechbaren Wort steckt der Begriff des Unendlichen, auf Lateinisch „infinit“ (unbegrenzt). Da geht es um winzige Zahlen und Grenzzahlen, Zahlen die an der Grenze zum Unendlichen liegen. Über diese Zahlen werdet ihr bald mehr erfahren.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Das ist also Herr Leibniz, der Mann mit der Perücke. Sein Kollege aus England hat sich auch so einen „Mopp“ aufgesetzt. Das war damals im 17. Jahrhundert Mode.

Isaac Newton

Die Differenzialrechnung ist eine spezielle Art der Berechnung von Differenzverhältnissen, und zwar winzig kleine, mikroskopisch kleine Zahlenverhältnisse von Höhe und Breite, wobei die Breite immer kleiner wird, was anscheinend so manche Frauen zum Vorbild nehmen und abnehmen, bis sie nur noch ein Strich in der Landschaft sind. Wenn die Breite fast beim Nullpunkt angelangt ist, spricht man von einem Differenzial.

So ist das in der Mathematik. Die Unendlichkeit, wie man sie aus der Religion kennt, taucht hier unübersehbar auf und führt zu überraschenden Ergebnissen.

Interessant ist auch die Betrachtung des Zuwachses von x und y. Das wird mit dem griechischen Buchstaben Δ (Delta) ausgedrückt.

Der Zuwachs von y ist abhängig vom Zuwachs von x.

Formt man diese einfache Gleichung um, dann ergibt sich eine in der Analysis häufig benutzter Begriff, dem der Steigung oder dem Gefälle, je nach dem Vorzeichen des Koeffizienten a. Ein negatives Vorzeichen ist ein Gefälle.

Die Steigung ist a. Sie ist konstant. Sie wurde durch einfaches Umstellen der Zuwachsgleichung gebildet.

Dieses Zuwachsverhältnis kann man weiterspinnen, indem man den Zuwachs von x gegen 0 wandern lässt, ihn also ganz, ganz winzig werden lässt. Dadurch ändert das Zuwachsverhältnis seine Qualität. Aus einer normalen Differenz wird ein Differenzial, eine wirklich winzige Differenz, mit der man hervorragend rechnen kann.

Formal

Das Kürzel „lim“ bedeutet Limes („Grenze“), was aus dem Lateinischen stammt. Es soll besagen, dass bei der Grenze 0 die Differenz in ein Differenzial umspringt, das statt des griechischen Buchstabens nun einen lateinischen Buchstaben erhält. Dadurch weiß jeder Mathematiker, hier liegt ein Differenzial vor. Das wird auch durch den Hochstrich bei dem f angedeutet. Das Kürzel f soll stellvertretend für eine beliebige Funktion stehen. Die Variable x in Klammern hinter diesem Funktionszeichen ist notwendig, damit man weiß, worauf sich das Differenzial bezieht, wie es gebildet wurde. Sehr häufig wird das x genommen. Es könnte aber auch jeder andere Buchstabe sein.

In die lineare Funktion kann man statt des Koeffizienten a das Differenzial einsetzen. Das sieht dann etwas ungewohnt aus:

Hier wird deutlich, dass der Koeffizient eigentlich ein Differenzial ist. Wenn man die Steigung einer linearen Funktion errechnen möchte, braucht man bloß die unabhängige Variable x wegnehmen. Übrig bleibt die Steigung a oder dy/dx der Funktion. Diese Rechenart nennt man dann Differenzialrechnung.

Grenzwerte gegen unendlich

Die Grenzwerte der Folgen für sollen bestimmt werden. Es kommt hier immer darauf an, die Variable n in den Nenner zu bekommen. Dann wird der Quotient beim Einsetzen von zu 0. Je größer der Nenner wird, umso kleiner wird der Quotient.

Diese Wirkung wird bei den Wählern meist nicht beachtet, wenn sie von der gewählten Regierung fordern, Milliarden Euros auf zig-Millionen Bürger zu verteilen (als Transferleistungen aller Art, Steuererleichterungen, Sozialhilfe, Rentenbeihilfen, Kindergeld, Sozialwohnungen, Pensionen…). In diesem Fall ist der Nenner trotz eines großen Zählers ebenfalls sehr groß, was zu einem kleinen Quotienten führt. Der Einzelne kann also gar nicht so viel kriegen, wie er gefühlt meint zu bekommen.

Beispiel

Wenn die Regierung eine Milliarde Euros an zehn Millionen Bürger verteilen würde, bekäme jeder einmalig nur 100 Euro!

Bei den mathematischen Grenzwerten geht es um die Unendlichkeit. Hier werden die Quotienten wirklich 0, wenn die Nenner unendlich gesetzt werden.